ماشین حساب دیورژانس

نویسنده: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

ماشین حساب دیورژانس

واگرایی یک میدان برداری را محاسبه کنید. واگرایی نرخ خروج «چگالی» از یک ناحیه مشخص از فضا را اندازه‌گیری می‌کند و مفهومی کلیدی در حسابان برداری است.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

ورودی میدان برداری

گزینه‌های نمایش

درباره واگرایی

واگرایی یک کمیت اسکالر است که تمایل یک میدان برداری به "جریان یافتن" دور از یک نقطه یا به سمت آن را اندازه‌گیری می‌کند. با ∇·F (دل نقطه F) یا div F نشان داده می‌شود.

تعریف ریاضی:

برای یک میدان برداری F = (F₁, F₂, F₃) در مختصات دکارتی سه‌بعدی، واگرایی به صورت زیر تعریف می‌شود:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
تفسیر فیزیکی:

واگرایی جریان خالص یک میدان را از یک حجم کوچک حول یک نقطه اندازه‌گیری می‌کند. در یک نقطه معین:

  • واگرایی مثبت: میدان به سمت بیرون جریان دارد (منبع)
  • واگرایی منفی: میدان به سمت داخل جریان دارد (چاهک)
  • واگرایی صفر: میدان جریان خالص ورودی یا خروجی ندارد (تراکم‌ناپذیر)
واگرایی در دستگاه‌های مختصات مختلف:

مختصات دکارتی (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

مختصات استوانه‌ای (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

مختصات کروی (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
کاربردها:
  • الکترومغناطیس: قانون گاوس واگرایی میدان الکتریکی را به چگالی بار مرتبط می‌کند
  • دینامیک سیالات: واگرایی میدان سرعت نشان‌دهنده تراکم‌پذیری سیالات است
  • انتقال حرارت: واگرایی شار حرارتی منابع یا چاهک‌های حرارتی را توصیف می‌کند
  • مکانیک کوانتومی: واگرایی چگالی جریان به پایستگی بار مربوط می‌شود

دیورژانس‌محاسبه‌گر چیست؟

دیورژانس‌محاسبه‌گر یک ابزار تعاملی است که به شما کمک می‌کند دیورژانس یک میدان برداری را در فضای دو بعدی یا سه بعدی محاسبه کنید. دیورژانس مفهومی از حسابان برداری است که نشان می‌دهد یک میدان برداری در یک نقطه معین چقدر پخش می‌شود یا متمرکز می‌گردد. این ابزار از دستگاه‌های مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی پشتیبانی می‌کند.

این ابزار به‌ویژه برای دانشجویان، مهندسان و هر کسی که با میدان‌های فیزیکی مانند جریان سیال، الکترومغناطیس یا ترمودینامیک کار می‌کند، مفید است.

فرمول دیورژانس در مختصات دکارتی:
div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

ویژگی‌های کلیدی

  • پشتیبانی از میدان‌های برداری دو بعدی و سه بعدی
  • انتخاب بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی
  • گزینه ارزیابی دیورژانس در یک نقطه خاص
  • تجزیه گام‌به‌گام مشتقات جزئی
  • گزینه ساده‌سازی نتایج و کنترل دقت اعشاری

نحوه استفاده از محاسبه‌گر

  1. تعداد ابعاد (دو بعدی یا سه بعدی) را انتخاب کنید.
  2. دستگاه مختصات متناسب با مسئله خود را انتخاب کنید.
  3. مؤلفه‌های میدان برداری (مانند F₁، F₂، F₃) را وارد کنید.
  4. در صورت تمایل، با فعال کردن گزینه "ارزیابی در نقطه"، ارزیابی در یک نقطه خاص را انتخاب کنید.
  5. در صورت نیاز، تنظیمات نمایش مانند تعداد ارقام اعشاری یا واحد زاویه را تنظیم کنید.
  6. روی محاسبه دیورژانس کلیک کنید تا نتایج و مراحل حل اختیاری را مشاهده کنید.

چرا این ابزار مفید است؟

درک دیورژانس به تفسیر رفتار یک میدان در فضا کمک می‌کند. این ابزار به شما امکان می‌دهد:

  • دیورژانس را به صورت بصری و دقیق محاسبه کنید
  • رفتار میدان را در فیزیک، مهندسی و ریاضیات بررسی کنید
  • مشتق‌گیری چندمتغیره و مراحل مشتقات جزئی را تمرین کنید
  • کارهای انجام‌شده با دست یا در جلسات حل مسئله را تأیید کنید

این ابزار به‌ویژه زمانی مفید است که با ابزارهایی مانند محاسبه‌گر مشتق جزئی، محاسبه‌گر مشتق جهتی یا محاسبه‌گر کرل همراه شود، به‌ویژه برای یادگیری حسابان چندمتغیره.

ابزارهای مرتبط

این محاسبه‌گر در خانواده‌ای از حل‌کننده‌های ریاضی قرار می‌گیرد که شامل موارد زیر است:

  • محاسبه‌گر مشتق جزئی – محاسبه گام‌به‌گام مشتقات جزئی
  • محاسبه‌گر مشتق جهتی – تحلیل تغییرات میدان برداری در یک جهت خاص
  • محاسبه‌گر مشتق دوم – ارزیابی تغییرات مرتبه دوم برای تحلیل عمیق‌تر
  • محاسبه‌گر کرل – محاسبه کرل میدان‌های برداری برای بررسی رفتار چرخشی

سوالات متداول

دیورژانس چیست؟
دیورژانس اندازه‌گیری می‌کند که یک میدان برداری چقدر در یک نقطه پخش می‌شود (دیورژانس مثبت) یا متمرکز می‌گردد (دیورژانس منفی).

آیا این ابزار می‌تواند مشتقات جزئی را ارزیابی کند؟
بله. این محاسبه‌گر در پس‌زمینه مشتق‌گیری چندمتغیره انجام می‌دهد و مشتقات جزئی هر مؤلفه میدان برداری را محاسبه می‌کند.

تفاوت بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی چیست؟
این‌ها روش‌های مختلفی برای توصیف موقعیت‌ها در فضا هستند. دکارتی از (x, y, z)، استوانه‌ای از (r, θ, z) و کروی از (ρ, θ, φ) استفاده می‌کند. دستگاهی را انتخاب کنید که با میدان یا مسئله شما بهترین تطابق را دارد.

آیا باید اعداد یا توابع وارد کنم؟
می‌توانید عباراتی مانند x*y*z، sin(θ) یا r*cos(θ) را وارد کنید. محاسبه‌گر ریاضیات نمادین را مدیریت می‌کند و در صورت درخواست می‌تواند مقادیر را در نقاط خاص نیز ارزیابی کند.

آیا برای میدان‌های دو بعدی کار می‌کند؟
بله. کافی است گزینه دو بعدی را انتخاب کنید و رابط کاربری به‌طور متناسب تنظیم می‌شود. مؤلفه سوم حذف می‌شود.

آیا می‌توانم از مراحل یاد بگیرم؟
قطعاً. اگر گزینه "نمایش مراحل حل" فعال باشد، ابزار نحوه محاسبه مشتقات جزئی و ترکیب آن‌ها در عبارت نهایی دیورژانس را توضیح می‌دهد.